5. Из пяти монет — две фальшивые. Одна из фальшивых монет легче настоящей, а другая — настолько же тяжелее настоящей. Объясните, как за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти обе фальшивые монеты.

Обозначим монеты числами 1, 2, 3, 4, 5. Настоящая монета весит \(m\), лёгкая фальшивая — \(m-d\), тяжёлая — \(m+d\).

1. Взвесить монеты 1 и 2 против монет 3 и 4.
2. Взвесить монету 5 против монеты 1.
3. Взвесить монету 5 против монеты 2.

Поскольку масса всех пяти монет равна \(5m\), средняя масса равна массе настоящей монеты. Поэтому среди монет 1–5 обязательно есть настоящая монета, а результаты трёх сравнений позволяют определить, какие две монеты отклоняются от неё на одинаковую величину в разные стороны: одна легче, другая тяжелее.

Практически это делается так: для каждой монеты по трём результатам взвешиваний составляют её отклонение от среднего веса. У настоящей монеты отклонение равно нулю, у фальшивых отклонения имеют противоположные знаки и одинаковый модуль.

Ответ: после трёх взвешиваний выбирают пару монет с противоположными и равными по величине отклонениями от веса настоящей монеты; одна из них лёгкая, другая тяжёлая.