5. Какие из следующих утверждений верны? 1) Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в два раза больше другого. 2) В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в два раза меньше другого. 3) При пересечении двух любых прямых сумма образованных ими вертикальных углов равна 180°. 4) В любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других сторон.

Давай разберем каждое утверждение:

1. Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в два раза больше другого.

   Это утверждение верно. Рассмотрим случаи:

   • Если углы при основании равны x, а угол при вершине 2x. Тогда x + x + 2x = 180°, 4x = 180°, x = 45°. Углы будут 45°, 45°, 90°.
   • Если угол при основании x, а угол при вершине 2x. Тогда x + 2x + 2x = 180°, 5x = 180°, x = 36°. Углы будут 36°, 72°, 72°.
2. В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в два раза меньше другого.

   Это утверждение неверно. Например, прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.

3. При пересечении двух любых прямых сумма образованных ими вертикальных углов равна 180°.

   Это утверждение неверно. Вертикальные углы всегда равны между собой. При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Сумма всех четырех углов равна 360°. Если бы сумма вертикальных углов была 180°, то каждый вертикальный угол был бы 90°, что возможно только для перпендикулярных прямых.

4. В любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других сторон.

   Это утверждение верно. Это неравенство треугольника, оно выполняется для любого треугольника.

Ответ: 1, 4