5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение:

Дано: △ABC — прямоугольный (∠C = 90°), ∠A = 30°, BC — катет, лежащий против угла A.

Доказать: BC = 1/2 AB.

Доказательство:

1. Построим треугольник ABC, где ∠C = 90° и ∠A = 30°. Тогда ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°.

2. По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов равна 180°.

3. Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть катет BC, лежащий против угла 30°.

4. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

\( \sin 30° = \frac{BC}{AB} \)

5. Мы знаем, что \( \sin 30° = \frac{1}{2} \).

6. Подставим значение синуса:

\( \frac{1}{2} = \frac{BC}{AB} \)

7. Умножим обе части на AB:

\( AB \cdot \frac{1}{2} = BC \)

\( BC = \frac{1}{2} AB \)

Что и требовалось доказать.