5. МК и NK - касательные, ∠КОМ = 75°. Найди ∠NKO. (рис. 5)

Задание 5. Угол NKO

На рисунке 5 изображена окружность с центром O. MK и NK — касательные к окружности. ∠KOM = 75°.

Решение:

1. Свойство касательных: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OK ⊥ NK и OM ⊥ MK. Это значит, что ∠OKN = 90° и ∠OMK = 90°.
2. Рассмотрим четырехугольник MKON. Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.
3. У нас есть три угла: ∠KOM = 75°, ∠OMK = 90°, ∠OKN = 90°.
4. Найдем четвертый угол ∠MK N: \( \angle MKN = 360° - \angle KOM - \angle OMK - \angle OKN \)
5. \( \angle MKN = 360° - 75° - 90° - 90° = 360° - 255° = 105° \)
6. Свойство касательных, проведенных из одной точки: Отрезки касательных от точки до точки касания равны, то есть MK = NK.
7. Также, отрезок, соединяющий точку, из которой проведены касательные (K), с центром окружности (O), делит угол между касательными пополам. То есть, ∠MKO = ∠NKO.
8. Рассмотрим треугольник KMO. Он прямоугольный (∠OMK = 90°).
9. У нас есть ∠KOM = 75° и ∠OMK = 90°.
10. Сумма углов в треугольнике KMO: \( \angle MKO + \angle KOM + \angle OMK = 180° \)
11. \( \angle MKO + 75° + 90° = 180° \)
12. \( \angle MKO = 180° - 165° = 15° \)
13. Так как ∠MKO = ∠NKO, то \( \angle NKO = 15° \).

Ответ: ∠NKO = 15°.