5. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Задание 5. Касательная к окружности

Дано:

• Точки A, C, B лежат на одной прямой.
• AC = 75, BC = 10.
• Окружность с центром A, проходящая через C.
• BK — касательная к окружности, где K — точка касания.

Найти: Длину касательной BK.

Решение:

1. Рассмотрим отрезок AB. Поскольку точка C лежит на отрезке AB, то длина AB равна сумме AC и BC.
2. \[ AB = AC + BC = 75 + 10 = 85 \]
3. Окружность имеет центр в точке A и проходит через точку C. Следовательно, радиус этой окружности равен AC.
4. \[ R = AC = 75 \]
5. Касательная BK перпендикулярна радиусу AK, проведенному в точку касания K. Это значит, что треугольник ABK — прямоугольный, с прямым углом ∠AKB.
6. В этом прямоугольном треугольнике AB — гипотенуза, AK — один катет (радиус окружности), а BK — другой катет (искомая касательная).
7. Используем теорему Пифагора:
8. \[ AB^2 = AK^2 + BK^2 \]
9. Подставим известные значения:
10. \[ 85^2 = 75^2 + BK^2 \]
11. \[ 7225 = 5625 + BK^2 \]
12. Найдем BK²:
13. \[ BK^2 = 7225 - 5625 = 1600 \]
14. Найдем длину BK:
15. \[ BK = \sqrt{1600} = 40 \]

Ответ: Длина отрезка касательной BK равна 40.