5. На рис. 145 DA — биссектриса угла BDC. Докажите, что АВ = АС.

Краткое пояснение:

Чтобы доказать равенство сторон AB и AC, нам нужно показать, что треугольник ABC является равнобедренным. Это можно сделать, показав, что углы при основании равны, или используя теорему о биссектрисе.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем условие: DA — биссектриса угла BDC. Это означает, что ∠BDA = ∠CDA.
2. Шаг 2: Также по условию, ∠ABD = 90° и ∠ACD = 90°, что означает, что точки B и C лежат на окружности с диаметром AD.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник BDA и треугольник CDA.
4. Шаг 4: У них общий катет AD.
5. Шаг 5: Углы ∠BDA и ∠CDA равны по условию (DA — биссектриса).
6. Шаг 6: По теореме о сумме углов в треугольнике, в треугольнике BDA: ∠ABD + ∠BDA + ∠BAD = 180°.
7. Шаг 7: В треугольнике CDA: ∠ACD + ∠CDA + ∠CAD = 180°.
8. Шаг 8: Так как ∠ABD = 90° и ∠ACD = 90°, и ∠BDA = ∠CDA, то из этих равенств следует, что ∠BAD = ∠CAD.
9. Шаг 9: Таким образом, AD является биссектрисой угла BAC.
10. Шаг 10: Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них есть общий катет AD, и углы ∠BAD = ∠CAD.
11. Шаг 11: По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (или по катету и углу, противолежащему другому катету, если рассматривать углы BDA и CDA), треугольники ABD и ACD равны.
12. Шаг 12: Следовательно, соответствующие стороны AB и AC равны.

Доказано. AB = AC