5. На рисунке трапеция KLMN, диагональ NL, ∠LNM = 30°. Засечками отмечено, что KL = KN и LM = KN. Найдите углы трапеции.

По засечкам KL = KN = LM. В равнобедренном треугольнике KNL, где KL = KN, углы при основании NL равны: ∠KNL = ∠NLK.

Так как KL ∥ NM, угол ∠NLK равен углу ∠LNM как накрест лежащий. Следовательно, ∠KNL = ∠NLK = 30°.

Тогда ∠K = 180° − 30° − 30° = 120°.

Углы при основании KL равнобедренного треугольника KLM равны. Угол ∠KLM составляет 180° − ∠NLK = 150°, поскольку лучи LK и LM образуют угол трапеции в точке L, а луч LN делит его; значит ∠KLM = 150° − 30° = 120°.

Из KL ∥ NM следует, что соседние углы при каждой боковой стороне дополняют друг друга до 180°: ∠N = 180° − 120° = 60°, ∠M = 180° − 120° = 60°.

Ответ: ∠K = 120°, ∠L = 120°, ∠N = 60°, ∠M = 60°.