5. На сторонах угла A отмечены точки M и K так, что AM = AK. Известно, что точка P лежит внутри угла A и PK = PM. Докажите, что луч AP — биссектриса угла A.

Рассмотрим треугольники AMP и AKP.

1. По условию \(AM = AK\) и \(PM = PK\).
2. Сторона AP общая: \(AP = AP\).

Треугольники равны по трём сторонам. Поэтому соответствующие углы при вершине A равны: \(\angle MAP = \angle PAK\). Следовательно, луч AP делит угол A пополам.

Что и требовалось доказать.