5. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD. O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Обозначим точку A за начало отсчёта. Тогда положение точек задаётся векторами: \(\overrightarrow{AB}=-x\), \(\overrightarrow{AD}=y\), \(\overrightarrow{AC}=y-x\).

Поскольку O — середина диагонали AC, \(\overrightarrow{AO}=\frac{y-x}{2}\). Поэтому \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=\frac{x+y}{2}\).

Так как P — середина CD, \(\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{2}=y-\frac{x}{2}\). Тогда \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=y+\frac{x}{2}\), а \(\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP}=\frac{x}{2}-y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac{x+y}{2}\), \(\overrightarrow{BP}=\frac{x}{2}+y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac{x}{2}-y\).