5. Найдите все функции, имеющие производную y' = 2x - x².

Решение:

Чтобы найти функцию, имеющую производную \( y' = 2x - x^2 \), нам нужно проинтегрировать данное выражение по \( x \).

\( y = ∫ (2x - x^2) dx \)

Применяем правила интегрирования:

\( y = ∫ 2x dx - ∫ x^2 dx \)

\( y = 2 ∫ x dx - ∫ x^2 dx \)

Используем формулу \( ∫ x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( y = 2 ⁠ \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \)

\( y = 2 ⁠ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \)

\( y = x^2 - \frac{x^3}{3} + C \)

Где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: Функция имеет вид \( y = x^2 - \frac{x^3}{3} + C \), где \( C \) — любое действительное число.