7. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 9 см и 6 см, равна 408 см². Найдите диагонали параллелепипеда.

Решение:

Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда как \( a = 9 \) см и \( b = 6 \) см. Высоту параллелепипеда обозначим как \( c \).

Площадь полной поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле:

\[ S = 2(ab + ac + bc) \]

По условию, \( S = 408 \) см².

Подставим известные значения:

\[ 408 = 2(9 \in 6 + 9c + 6c) \]\[ 408 = 2(54 + 15c) \]\[ 204 = 54 + 15c \]\[ 15c = 204 - 54 \]\[ 15c = 150 \]\[ c = \frac{150}{15} \]\[ c = 10 \) см.

Теперь найдем длину диагонали параллелепипеда \( d \). Формула для диагонали:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]

Подставим значения \( a, b, c \):

\[ d = \sqrt{9^2 + 6^2 + 10^2} \]\[ d = \sqrt{81 + 36 + 100} \]\[ d = \(\sqrt{217}\) \) см.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Ответ: \( \sqrt{217} \) см.