5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 3 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( ∠ C = 90° \). Один из острых углов равен 60°. Пусть \( ∠ A = 60° \). Тогда другой острый угол \( ∠ B = 90° - 60° = 30° \).

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, катет BC (противолежащий углу A = 60°) является большим катетом, а катет AC (противолежащий углу B = 30°) является меньшим катетом.

Обозначим гипотенузу AB как \( c \) и меньший катет AC как \( a \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 3 см: \( c + a = 3 \). Отсюда \( a = 3 - c \).

В прямоугольном треугольнике, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. То есть, \( a = \frac{c}{2} \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a = 3 - c \)
2. \( a = \frac{c}{2} \)

Приравняем правые части уравнений:

\( 3 - c = \frac{c}{2} \)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 2(3 - c) = c \)

\( 6 - 2c = c \)

\( 6 = 3c \)

\( c = \frac{6}{3} = 2 \) см

Теперь найдём меньший катет \( a \):

\( a = \frac{c}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см

Проверим сумму: \( c + a = 2 + 1 = 3 \) см. Условие выполняется.

Ответ: Гипотенуза равна 2 см, меньший катет равен 1 см.