Решение:
Ошибка в постановке знаков препинания допущена в предложении а). Обособленное определение 'учительница из небольшого волжского городка' относится к подлежащему 'мать' и сказуемому 'писала', поэтому между ними должна стоять запятая.
- а) Писала мать, учительница из небольшого волжского городка, и сестра из Москвы.
- б) Я, Иванов Сергей Николаевич, родился в тысяча девятьсот восемьдесят первом году. (Фамилия, имя, отчество обособляются).
- в) Лесник Алексей Желтов, обветренный старик, сидел на лавке около избы и читал газету. (Приложение 'обветренный старик' обособляется).
- г) А они благодарили нас за то, что мы русские любили Рафаэля. (Сложное предложение, запятая стоит правильно).
Ответ: а)