5. Определите значения полезной и совершенной работ подъемным краном при подъеме строительных блоков, если КПД крана η = 80%, а бесполезная работа А = 1 МДж.

Для решения этой задачи воспользуемся определением КПД (коэффициента полезного действия) и формулами работы.

Дано:

• КПД крана (η) = 80% = 0.8
• Бесполезная работа (A_бесполезная) = 1 МДж = 1 000 000 Дж

Найти:

• Полезная работа (A_полезная)
• Совершенная работа (A_совершенная)

Решение:

1. Совершенная работа (A_совершенная) — это общая работа, которую совершил кран. Она складывается из полезной работы и бесполезной работы:

\[ A_{\text{совершенная}} = A_{\text{полезная}} + A_{\text{бесполезная}} \]

2. КПД (η) определяется как отношение полезной работы к совершенной работе:

\[ \eta = \frac{A_{\text{полезная}}}{A_{\text{совершенная}}} \]

Из этой формулы мы можем выразить полезную работу:

\[ A_{\text{полезная}} = \eta \times A_{\text{совершенная}} \]

Теперь подставим выражение для совершенной работы из пункта 1:

\[ A_{\text{полезная}} = \eta \times (A_{\text{полезная}} + A_{\text{бесполезная}}) \]

Раскроем скобки:

\[ A_{\text{полезная}} = \eta \times A_{\text{полезная}} + \eta \times A_{\text{бесполезная}} \]

Перенесем член с полезной работой в левую часть:

\[ A_{\text{полезная}} - \eta \times A_{\text{полезная}} = \eta \times A_{\text{бесполезная}} \]

Вынесем A_полезная за скобки:

\[ A_{\text{полезная}} (1 - \eta) = \eta \times A_{\text{бесполезная}} \]

Теперь выразим полезную работу:

\[ A_{\text{полезная}} = \frac{\eta \times A_{\text{бесполезная}}}{1 - \eta} \]

Подставим известные значения:

\[ A_{\text{полезная}} = \frac{0.8 \times 1 000 000 \text{ Дж}}{1 - 0.8} = \frac{800 000 \text{ Дж}}{0.2} = 4 000 000 \text{ Дж} \]

Следовательно, полезная работа равна 4 МДж.

Теперь найдем совершенную работу, используя формулу из пункта 1:

\[ A_{\text{совершенная}} = A_{\text{полезная}} + A_{\text{бесполезная}} = 4 000 000 \text{ Дж} + 1 000 000 \text{ Дж} = 5 000 000 \text{ Дж} \]

Совершенная работа равна 5 МДж.

Проверка:

\[ \eta = \frac{A_{\text{полезная}}}{A_{\text{совершенная}}} = \frac{4 000 000 \text{ Дж}}{5 000 000 \text{ Дж}} = 0.8 = 80\% \]

Результаты совпадают.

Ответ: Полезная работа = 4 МДж, Совершенная работа = 5 МДж.