№5. Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь которого 1 м². Площади диагональных сечений 3 м² и 6 м². Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим диагонали ромба через \(d_1,d_2\), а высоту параллелепипеда через \(h\). Площадь ромба равна \(d_1d_2/2=1\), следовательно, \(d_1d_2=2\).

Диагональные сечения прямого параллелепипеда — прямоугольники со сторонами диагональ основания и высота. Поэтому \(d_1h=3\) и \(d_2h=6\).

Перемножим равенства: \((d_1h)(d_2h)=3\cdot6\), откуда \(d_1d_2h^2=18\). Так как \(d_1d_2=2\), получаем \(2h^2=18\), значит \(h=3\) м.

Объём равен произведению площади основания на высоту: \(V=1\cdot3=3\) м³.

Ответ: 3 м³.