5. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Дано:

Равнобедренная трапеция ABCD

\( a = 18 \) см (большее основание)

\( b = 8 \) см (меньшее основание)

\( P = 56 \) см (периметр)

Найти:

\( S \) — площадь трапеции

Решение:

1. Найдем длину боковой стороны. Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон: \( P = a + b + 2c \), где \( c \) — длина боковой стороны.

\( 56 = 18 + 8 + 2c \)

\( 56 = 26 + 2c \)

\( 2c = 56 - 26 \)

\( 2c = 30 \)

\( c = 15 \) см.

2. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту \( h \) из вершин меньшего основания к большему. Большее основание разделится на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию: \( 8 \) см. Боковые отрезки равны: \( \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 15 \) см и одним катетом \( 5 \) см. Найдем второй катет (высоту \( h \)) по теореме Пифагора:

\( h^2 + 5^2 = 15^2 \)

\( h^2 + 25 = 225 \)

\( h^2 = 225 - 25 \)

\( h^2 = 200 \)

\( h = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} \) см.

3. Найдем площадь трапеции по формуле:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{18+8}{2} \cdot 10\sqrt{2} \) см²

\( S = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} \) см²

\( S = 13 \cdot 10\sqrt{2} \) см²

\( S = 130\sqrt{2} \) см²

Ответ: 130\(\sqrt{2}\) см².