5) После того как туристы проехали 2 км на машине и еще 5/6 остатка всего маршрута, им осталось до конца маршрута проехать 7/7 всего пути и последние 3 км. Найдите длину туристического маршрута?

Краткая запись:

• Проехали: 2 км + 5/6 остатка
• Осталось: 7/7 пути + 3 км
• Весь маршрут = ?

Решение:

1. Пусть весь маршрут равен 'x' км.
2. Туристы проехали 2 км.
3. Остаток пути после первых 2 км равен (x - 2) км.
4. Из этого остатка туристы проехали \(\frac{5}{6}\) этого пути, то есть \(\frac{5}{6}\)(x - 2) км.
5. Общая пройденная часть маршрута: 2 + \(\frac{5}{6}\)(x - 2) км.
6. По условию, туристам осталось проехать \(\frac{7}{7}\) всего пути (то есть 'x' км) и еще 3 км.
7. Это условие сформулировано некорректно, так как "\(\frac{7}{7}\) всего пути" означает весь путь. Следовательно, это приведет к противоречию. Переформулируем условие, предполагая, что имелось в виду "\(\frac{1}{7}\) всего пути":
8. Если предположить, что осталось проехать \(\frac{1}{7}\) всего пути и еще 3 км, то оставшаяся часть маршрута равна \(\frac{1}{7}\)x + 3 км.
9. Общий маршрут 'x' равен сумме пройденной и оставшейся части:
10. x = (2 + \(\frac{5}{6}\)(x - 2)) + (\(\frac{1}{7}\)x + 3)
11. Упростим уравнение:
12. x = 2 + \(\frac{5}{6}\)x - \(\frac{10}{6}\) + \(\frac{1}{7}\)x + 3
13. x = 5 + \(\frac{5}{6}\)x - \(\frac{5}{3}\) + \(\frac{1}{7}\)x
14. x = 5 - 1.666... + \(\frac{5}{6}\)x + \(\frac{1}{7}\)x
15. x = 3.333... + \(\frac{5}{6}\)x + \(\frac{1}{7}\)x
16. Приведем дроби к общему знаменателю (42):
17. x = \(\frac{10}{3}\) + \(\frac{35}{42}\)x + \(\frac{6}{42}\)x
18. x = \(\frac{10}{3}\) + \(\frac{41}{42}\)x
19. Перенесем \(\frac{41}{42}\)x в левую часть:
20. x - \(\frac{41}{42}\)x = \(\frac{10}{3}\)
21. \(\frac{1}{42}\)x = \(\frac{10}{3}\)
22. x = \(\frac{10}{3}\) \(\cdot 42
23. x = 10 \(\cdot 14
24. x = 140

Ответ: 140 км