5. Постройте график функции у = (x² + x³) / (x + 1).

Решение:

Данная функция имеет вид \( y = \frac{x^2 + x^3}{x + 1} \).

Сначала упростим выражение для функции. Вынесем \( x^2 \) за скобки в числителе:

\[ y = \frac{x^2(1 + x)}{x + 1} \]

Заметим, что знаменатель \( x + 1 \) не может быть равен нулю, то есть \( x \) не может быть равен \( -1 \). При \( x ≠ -1 \) мы можем сократить \( (x + 1) \) в числителе и знаменателе:

\[ y = x^2 \text{ при } x ≠ -1 \]

Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции \( y = x^2 \), за исключением точки \( x = -1 \). В точке \( x = -1 \) функция не определена, поэтому на графике \( y = x^2 \) нужно будет поставить «выколотую» точку.

Построение графика:

График функции \( y = x^2 \) — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх.

• При \( x = 0 \): \( y = 0^2 = 0 \) — вершина параболы.
• При \( x = 1 \): \( y = 1^2 = 1 \).
• При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 = 1 \). Эта точка должна быть «выколотой» на графике, так как \( x \) не может быть равен \( -1 \).
• При \( x = 2 \): \( y = 2^2 = 4 \).
• При \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 = 4 \).

Ответ: График функции — это парабола \( y = x^2 \) с «выколотой» точкой в \( (-1; 1) \).