5. Постройте график функции y = ((0,25x² + 0,5x)|x|)/(x + 2). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения: x ≠ −2, поскольку знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Разложим выражение в числителе на множители: 0,25x² + 0,5x = 0,25x(x + 2).
2. При x ≠ −2 сократим на x + 2: y = 0,25x|x|. Поэтому при x < 0 график задаётся формулой y = −0,25x², а при x ≥ 0 — формулой y = 0,25x².
3. Точка с абсциссой −2 исключена; на упрощённом графике ей соответствовала бы точка (−2; −1). Значение −1 нигде больше не достигается, а все остальные значения достигаются.

График — две части парабол: левая ветвь y = −0,25x² при x < 0 и правая ветвь y = 0,25x² при x ≥ 0; точка (−2; −1) выколота.

Горизонтальная прямая y = m не пересекает график только при значении m, отсутствующем в области значений функции.

Ответ: m = −1.