5. Постройте прямоугольник (единичный отрезок равен 1 см) с вершинами в точках А(-2; 1), B(1; 1), C(-2; -1). Найдите координаты точки D, если известно, что это четвертая вершина прямоугольника. Вычислить периметр и площадь прямоугольника.

5. Построение и вычисление параметров прямоугольника:

1. Определение координат точки D:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Рассмотрим векторы сторон:

• \( \vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 1) = (3; 0) \)
• \( \vec{AC} = (-2 - (-2); -1 - 1) = (0; -2) \)

Так как \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) являются сторонами прямоугольника, то точка D должна быть такой, чтобы \( \vec{AD} = \vec{BC} \) или \( \vec{CD} = \vec{BA} \).

Найдем \( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \). Это неверно, так как \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) перпендикулярны, а \( \vec{BC} \) не перпендикулярен.

Рассмотрим \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \). Тогда \( D = A + \vec{BC} \) или \( D = C + \vec{AB} \).

\( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \). Это тоже неверно, так как \( AB \) параллельна оси X, а \( BC \) не параллельна оси Y.

Правильное построение: \( \vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 1) = (3; 0) \) и \( \vec{AC} = (-2 - (-2); -1 - 1) = (0; -2) \). Следовательно, \( AB \) параллельна оси X, а \( AC \) параллельна оси Y.

Значит, \( D = (x_A + (x_C - x_A); y_A + (y_B - y_A)) \) или \( D = (x_C + (x_B - x_A); y_C + (y_B - y_A)) \).

\( \vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 1) = (3; 0) \).

\( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \). Это не так, \( BC \) - это одна из сторон.

Если \( A=(-2; 1), B=(1; 1), C=(-2; -1) \), то \( AB \) — горизонтальный отрезок длиной \( |1 - (-2)| = 3 \). \( AC \) — вертикальный отрезок длиной \( |-1 - 1| = 2 \). Это означает, что \( AB \) и \( AC \) — соседние стороны прямоугольника, и угол \( CAB \) — прямой.

Тогда точка D должна быть такой, чтобы \( \vec{AD} = \vec{BC} \) или \( \vec{CD} = \vec{BA} \).

\( \vec{BA} = (-2 - 1; 1 - 1) = (-3; 0) \).

\( \vec{CD} = (x_D - (-2); y_D - (-1)) = (x_D + 2; y_D + 1) \).

Приравнивая векторы: \( x_D + 2 = -3 \) \(\Rightarrow\) \( x_D = -5 \) и \( y_D + 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( y_D = -1 \). Тогда \( D = (-5; -1) \).

Проверим: \( \vec{BD} = (-5 - 1; -1 - 1) = (-6; -2) \). \( \vec{BC} = (-3; -2) \). Это не то.

В прямоугольнике \( A, B, C, D \) в таком порядке, \( \vec{AB} = \vec{DC} \) и \( \vec{BC} = \vec{AD} \).

\( \vec{AB} = (1 - (-2); 1 - 1) = (3; 0) \).

\( \vec{DC} = (-2 - x_D; -1 - y_D) \).

\( -2 - x_D = 3 \) \(\Rightarrow\) \( x_D = -5 \).

\( -1 - y_D = 0 \) \(\Rightarrow\) \( y_D = -1 \). Точка \( D = (-5; -1) \).

Проверим \( \vec{BC} = (-2 - 1; -1 - 1) = (-3; -2) \).

\( \vec{AD} = (x_D - (-2); y_D - 1) = (-5 + 2; -1 - 1) = (-3; -2) \).

Векторы равны. Значит, \( D = (-5; -1) \).

2. Вычисление сторон прямоугольника:

Длина стороны \( AB = |1 - (-2)| = 3 \) см.

Длина стороны \( AC = |-1 - 1| = 2 \) см.

3. Вычисление периметра:

Периметр \( P = 2(AB + AC) = 2(3 + 2) = 2(5) = 10 \) см.

4. Вычисление площади:

Площадь \( S = AB \cdot AC = 3 \cdot 2 = 6 \) см².

Ответ: Координаты точки D: (-5; -1). Периметр: 10 см. Площадь: 6 см².