5. При каких целых $n$ значение выражения $(n-2)^2:n^2$ является целым числом?

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. При каких целых $n$ значение выражения $(n-2)^2:n^2$ является целым числом?$ Фото задания

5. При каких целых $n$ значение выражения $(n-2)^2:n^2$ является целым числом?

Accepted Answer

Требуется, чтобы $\frac{(n-2)^2}{n^2}$ было целым; также $n\ne0$.

Поскольку $(n-2)^2=n^2-4n+4$, имеем
$\frac{(n-2)^2}{n^2}=1-\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}$.

Условие целочисленности равносильно тому, что $n^2$ делит $(n-2)^2$. Значит, $n^2$ делит разность $(n-2)^2-n^2=-4n+4$. Тогда $n^2\mid4(n-1)$, откуда, поскольку $\gcd(n,n-1)=1$, следует $n^2\mid4$. Это возможно только при $n=\pm1,\pm2$.

Проверка: при $n=1$ значение 1; при $n=-1$ значение 9; при $n=2$ значение 0; при $n=-2$ значение 4.

Ответ: $n\in\{-2,-1,1,2\}$.

5. При каких целых \(n\) значение выражения \((n-2)^2:n^2\) является целым числом?

Ответ: