5. При каких целых значениях \(b\) выражение \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\) является целым числом?

Упростим числитель:

\[(b-2)^2+8b+1=b^2-4b+4+8b+1=b^2+4b+5.\]

При \(b\ne0\) выражение принимает вид

\[\frac{b^2+4b+5}{b}=b+4+\frac{5}{b}.\]

Так как \(b+4\) — целое число, всё выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(5/b\) — целое, то есть когда целое ненулевое \(b\) является делителем числа 5.

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).