5. При каких целых значениях \(b\) является целым числом значение выражения \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b+5}\)?

Упростим числитель: \((b-2)^2+8b+1=b^2-4b+4+8b+1=b^2+4b+5\).

Разделим числитель на знаменатель: \(b^2+4b+5=(b+5)(b-1)+10\). Поэтому выражение равно \(b-1+\frac{10}{b+5}\), при этом \(b\ne-5\).

При целом \(b\) значение будет целым тогда и только тогда, когда \(b+5\) — целый делитель числа 10. Следовательно, \(b+5\in\{-10,-5,-2,-1,1,2,5,10\}\).

Вычитая 5, получаем \(b\in\{-15,-10,-7,-6,-4,-3,0,5\}\). Значение \(b=-5\) не допускается, поскольку обращает знаменатель в ноль.

Ответ: \(b=-15,-10,-7,-6,-4,-3,0,5\).