5. При каких целых значениях \(b\) является целым значение выражения \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\)?

Раскроем скобки и разделим каждое слагаемое числителя на \(b\):

\(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=b+4+\frac{5}{b}\), причём \(b\ne0\).

При целом \(b\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{b}\) — целое число. Значит, ненулевое целое \(b\) должно быть делителем числа 5.

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).