5. При каких целых значениях \(b\) является целым значением выражение \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\)?

Раскроем скобки и разделим каждое слагаемое числителя на \(b\), учитывая, что \(b\ne0\): \[\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2+4b+5}{b}=b+4+\frac{5}{b}.\]

При целом \(b\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{b}\) — целое, то есть когда целое ненулевое \(b\) является делителем числа 5.

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).