5. При каких целых значениях \(b\) является целым значением выражения \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\)?

Учитываем, что знаменатель не должен быть равен нулю: \(b\ne0\).

Раскроем скобки и разделим слагаемые на \(b\):

\(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=\frac{b^2+4b+5}{b}=b+4+\frac{5}{b}\).

При целом \(b\) выражение будет целым, если \(\frac{5}{b}\) — целое, то есть если \(b\) является ненулевым целым делителем числа 5.

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).