5. При каких целых значениях \(b\) значение выражения \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\) является целым числом?

Упростим числитель: \((b-2)^2+8b+1=b^2-4b+4+8b+1=b^2+4b+5\).

Тогда \[\frac{b^2+4b+5}{b}=b+4+\frac{5}{b},\qquad b\ne0.\]

При целом \(b\) выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(5\) делится на \(b\). Следовательно, \(b\in\{-5,-1,1,5\}\).

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).