Ответ:

«С полей и лугов поднялись туманы и растаяли в небесной лазури, но в лесу туманы застряли надолго».

Первый союз и соединяет однородные члены предложения: с полей и лугов. Второй союз и соединяет однородные сказуемые: поднялись и растаяли. Союз но соединяет части сложного предложения.

Запятая перед вторым союзом и не ставится, потому что он соединяет однородные сказуемые. Перед союзом но ставится запятая между частями сложного предложения.

Ответ: однородные члены предложения; части сложного предложения.