5. Проведите все диагонали в многоугольниках, изображённых на рисунке. Выявите закономерность, заполнив таблицу. Обоснуйте выявленную закономерность. В таблице указано число вершин: 3, 4, 5, 6, 7, …, n; строки: число диагоналей, выходящих из одной вершины; общее число диагоналей.

Из одной вершины n-угольника нельзя провести диагональ к самой вершине и к двум соседним вершинам. Поэтому число диагоналей из одной вершины равно n − 3.

Если посчитать это для каждой из n вершин, каждая диагональ будет учтена дважды — по одному разу с каждого конца. Значит, общее число диагоналей равно n(n − 3) / 2.

Ответ: из одной вершины выходит n − 3 диагонали; всего в n-угольнике n(n − 3) / 2 диагоналей.