5) Прямая проходит через середину диагонали BD параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Докажите, что четырёхугольник DMBK — параллелограмм.

Обозначим через O середину диагонали BD. Точки M, O и K лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники BOM и DOK. Имеем BO = OD, ∠BOM = ∠DOK как вертикальные углы. Кроме того, BM ∥ DK, поскольку BM лежит на BC, а DK — на AD, и BC ∥ AD. Поэтому ∠OBM = ∠ODK. Треугольники BOM и DOK равны по стороне и двум прилежащим углам, откуда OM = OK.

Следовательно, диагонали четырёхугольника DMBK — BD и MK — пересекаются и делятся точкой O пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Доказано: DMBK — параллелограмм.