5) Прямые m и n параллельны. Найдите L3, если L1 = 117°, L2 = 24°.

Решение:

Прямые \( m \) и \( n \) параллельны.

Угол \( L1 = 117^{\circ} \) и угол, смежный с \( L3 \) (назовем его \( L4 \)), являются накрест лежащими при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей. Однако, \( L1 \) и \( L4 \) не являются накрест лежащими.

Угол \( L1 \) и угол, смежный с \( L2 \) (назовем его \( L5 \)), являются односторонними углами. \( L1 + L5 = 180^{\circ} \). \( L5 = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \).

Угол \( L2 \) и угол \( L5 \) находятся в одном треугольнике, образованном пересечением трёх прямых.

Рассмотрим треугольник, образованный секущей, прямой \( n \) и пересекающей её прямой, которая образует углы \( L2 \) и \( L3 \).

Угол \( L2 = 24^{\circ} \).

Угол \( L3 \) и угол, который является вертикальным к \( L2 \), образуют часть другого треугольника. Нет, это не так.

Давайте проведём другую секущую, параллельную той, что образует \( L1 \).

Проведём через вершину угла \( L3 \) прямую, параллельную \( m \) и \( n \).

Угол \( L1 = 117^{\circ} \). Угол, смежный с \( L1 \), равен \( 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \). Этот угол и угол \( L3 \) не связаны напрямую.

Рассмотрим угол, который является накрест лежащим к углу \( L1 \) по отношению к первой секущей. Он равен \( 117^{\circ} \).

Рассмотрим угол, который является соответственным к углу \( L1 \) по отношению к первой секущей. Он равен \( 117^{\circ} \).

Рассмотрим угол, который является односторонним с \( L1 \). Он равен \( 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \).

Теперь посмотрим на треугольник, образованный двумя секущими и прямой \( n \).

Угол \( L2 = 24^{\circ} \).

Угол \( L3 \) является внешним углом для некоторого треугольника, или углом в треугольнике.

Проведем прямую через точку пересечения секущих, параллельную \( m \) и \( n \).

Пусть \( L3 \) состоит из двух углов: \( L3 = a + b \).

Угол \( L1 \) — внешний угол для треугольника, образованного первой секущей и пересекающими прямыми. Это не так.

Рассмотрим угол, смежный с \( L1 \), который равен \( 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \). Пусть это будет угол \( L_{1'} \).

Угол \( L2 = 24^{\circ} \).

В треугольнике, образованном пересечением трех прямых, сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

Найдем углы в треугольнике.

Угол при прямой \( n \), который является соответственным к \( L1 \) (по отношению к первой секущей), равен \( 117^{\circ} \).

Угол, смежный с ним, равен \( 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \). Это один из углов треугольника.

Второй угол треугольника равен \( L2 = 24^{\circ} \).

Третий угол треугольника (назовем его \( L_x \)) равен \( 180^{\circ} - 63^{\circ} - 24^{\circ} \).

\( L_x = 180^{\circ} - 87^{\circ} = 93^{\circ} \).

Теперь рассмотрим угол \( L3 \). Он смежный с углом \( L_x \) на другой секущей, или является углом, образованным пересечением второй секущей и прямой \( m \).

Угол \( L3 \) и угол \( L_x \) являются односторонними углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и второй секущей. Поэтому \( L3 + L_x = 180^{\circ} \).

\( L3 = 180^{\circ} - 93^{\circ} \)

\( L3 = 87^{\circ} \).

Проверим другой вариант. Угол, смежный с \( L1 \) равен \( 63^{\circ} \). Этот угол и \( L3 \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и секущей, которая образует \( L3 \) и \( L2 \). Нет, это не так.

Рассмотрим первый рисунок. Пусть \( L_a \) — угол, смежный с \( L1 \). \( L_a = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \). \( L_a \) и угол при основании трапеции (образованной секущими и прямой \( n \)) являются накрест лежащими, если бы секущие были параллельны.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя секущими и нижней параллельной прямой \( n \).

Один угол этого треугольника равен \( L2 = 24^{\circ} \).

Второй угол — угол между первой секущей и прямой \( n \). Этот угол равен \( 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ} \) (смежный с \( L1 \)).

Сумма углов в треугольнике = \( 180^{\circ} \).

Третий угол в этом треугольнике равен \( 180^{\circ} - 24^{\circ} - 63^{\circ} = 180^{\circ} - 87^{\circ} = 93^{\circ} \).

Угол \( L3 \) является внешним углом для этого треугольника, если рассматривать его относительно второй секущей и прямой \( m \).

Нет, \( L3 \) и этот третий угол (\( 93^{\circ} \)) являются односторонними углами при параллельных прямых \( m \) и \( n \) и второй секущей.

Следовательно, \( L3 + 93^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( L3 = 180^{\circ} - 93^{\circ} \)

\( L3 = 87^{\circ} \).

Ответ: 87°.