5. Разложите число 84 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).

Разложим число на простые множители: \(84=2^2\cdot3\cdot7\). Чтобы множители были взаимно простыми, полные степени каждого простого числа нужно распределить между множителями, не разделяя одинаковые простые множители. Получаем четыре разложения без учёта порядка:

1. \(84=1\cdot84\), причём \(\gcd(1,84)=1\).
2. \(84=3\cdot28\), причём \(\gcd(3,28)=1\).
3. \(84=4\cdot21\), причём \(\gcd(4,21)=1\).
4. \(84=7\cdot12\), причём \(\gcd(7,12)=1\).

Других способов нет: простые множители числа 84 — это блоки \(4\), \(3\) и \(7\); распределение этих блоков между двумя множителями даёт указанные пары (с точностью до перестановки).