5. Разложите на множители: a) (y+2)²-4y²; 6) x³-8y³; в) 16-- 81 1 x⁴; г) 2x+x²+2y-y².

Решение:

1. \( (y+2)^2 - 4y^2 = (y^2 + 4y + 4) - 4y^2 = -3y^2 + 4y + 4 \). Для разложения на множители найдем корни квадратного трехчлена \( -3y^2 + 4y + 4 = 0 \). Дискриминант \( D = 4^2 - 4(-3)(4) = 16 + 48 = 64 \). Корни \( y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2(-3)} = \frac{-4+8}{-6} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} \) и \( y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2(-3)} = \frac{-4-8}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2 \). Следовательно, \( -3y^2 + 4y + 4 = -3(y - (-\frac{2}{3}))(y-2) = -3(y+\frac{2}{3})(y-2) = -(3y+2)(y-2) = (3y+2)(2-y) \).
2. \( x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 \). Это разность кубов. Формула: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \). Применяем: \( (x-2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) = (x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \).
3. \( 16 - \frac{1}{81}x^4 \). Это разность квадратов: \( 4^2 - (\frac{1}{9}x^2)^2 \). Раскладываем: \( (4 - \frac{1}{9}x^2)(4 + \frac{1}{9}x^2) \). Первый множитель снова разность квадратов: \( (2 - \frac{1}{3}x)(2 + \frac{1}{3}x)(4 + \frac{1}{9}x^2) \).
4. \( 2x+x^2+2y-y^2 \). Перегруппируем: \( (x^2+2x) - (y^2-2y) \). Дополним до полных квадратов: \( (x^2+2x+1-1) - (y^2-2y+1-1) = (x+1)^2 - 1 - ((y-1)^2 - 1) = (x+1)^2 - 1 - (y-1)^2 + 1 = (x+1)^2 - (y-1)^2 \). Это разность квадратов: \( ((x+1) - (y-1))((x+1) + (y-1)) = (x+1-y+1)(x+1+y-1) = (x-y+2)(x+y) \).

Ответ: 1) \( (3y+2)(2-y) \); 2) \( (x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \); 3) \( (2 - \frac{1}{3}x)(2 + \frac{1}{3}x)(4 + \frac{1}{9}x^2) \); 4) \( (x-y+2)(x+y) \).