5. Разложите на множители: a) (y+2)²-4y²; б) x³-8y³; в) 16 - (1/81)x⁴; г) 2x + x²+2y-y².

Решение:

Для разложения на множители используем формулы сокращённого умножения.

1. \( (y+2)^2 - 4y^2 \)
   Это разность квадратов: \( (y+2)^2 - (2y)^2 \).
   Применяем формулу \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( ((y+2) - 2y)((y+2) + 2y) \).
   Упрощаем: \( (y+2-2y)(y+2+2y) = (2-y)(3y+2) \).
2. \( x^3 - 8y^3 \)
   Это разность кубов: \( x^3 - (2y)^3 \).
   Применяем формулу \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \): \( (x-2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) = (x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \).
3. \( 16 - \frac{1}{81}x^4 \)
   Это разность квадратов: \( 4^2 - (\frac{1}{9}x^2)^2 \).
   Применяем формулу \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( (4 - \frac{1}{9}x^2)(4 + \frac{1}{9}x^2) \).
   Первую скобку можно разложить дальше как разность квадратов \( 2^2 - (\frac{1}{3}x)^2 \): \( (2 - \frac{1}{3}x)(2 + \frac{1}{3}x)(4 + \frac{1}{9}x^2) \).
4. \( 2x + x^2 + 2y - y^2 \)
   Перегруппируем слагаемые: \( (x^2 + 2x) - (y^2 - 2y) \).
   Дополним до полных квадратов: \( (x^2 + 2x + 1) - 1 - (y^2 - 2y + 1) + 1 \).
   \( (x+1)^2 - (y-1)^2 \).
   Это разность квадратов. Применим формулу \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \( ((x+1) - (y-1))((x+1) + (y-1)) \).
   Упрощаем: \( (x+1-y+1)(x+1+y-1) = (x-y+2)(x+y) \).

Ответ: a) \( (2-y)(3y+2) \); б) \( (x-2y)(x^2+2xy+4y^2) \); в) \( (2 - \frac{1}{3}x)(2 + \frac{1}{3}x)(4 + \frac{1}{9}x^2) \); г) \( (x-y+2)(x+y) \).