5 Решить уравнение: (2/5)^ (x-3) = 2.4

Решение:

1. Дано уравнение: \( \left(\frac{2}{5}\right)^{x-3} = 2.4 \)
2. Представим 2.4 в виде обыкновенной дроби: \( 2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \)
3. Уравнение принимает вид: \( \left(\frac{2}{5}\right)^{x-3} = \frac{12}{5} \)
4. Заметим, что \( \frac{2}{5} = 0.4 \) и \( \frac{12}{5} = 2.4 \).
5. Перепишем основание \( \frac{2}{5} \) как \( \frac{1}{\frac{5}{2}} \) или \( \frac{1}{2.5} \).
6. \( \left(\frac{1}{2.5}\right)^{x-3} = 2.4 \)
7. \( (2.5)^{-(x-3)} = 2.4 \)
8. \( (2.5)^{3-x} = 2.4 \)
9. Для решения этого уравнения необходимо использовать логарифмы. Возьмём логарифм по основанию 2.5 от обеих частей:
10. \( \log_{2.5}((2.5)^{3-x}) = \log_{2.5}(2.4) \)
11. \( 3 - x = \log_{2.5}(2.4) \)
12. \( x = 3 - \log_{2.5}(2.4) \)
13. Альтернативно, можно воспользоваться свойством \( \frac{a}{b} = \frac{1}{\frac{b}{a}} \).
14. \( \left(\frac{2}{5}\right)^{x-3} = \frac{12}{5} \)
15. \( \left(\frac{5}{2}\right)^{-(x-3)} = \frac{12}{5} \)
16. \( \left(\frac{5}{2}\right)^{3-x} = \frac{12}{5} \)
17. Возьмём десятичный логарифм от обеих частей:
18. \( (3-x) \log(2.5) = \log(2.4) \)
19. \( 3-x = \frac{\log(2.4)}{\log(2.5)} \)
20. \( x = 3 - \frac{\log(2.4)}{\log(2.5)} \)
21. \( x = 3 - \log_{2.5}(2.4) \)

Ответ: \( x = 3 - \log_{2.5}(2.4) \)