6 Вычислить: \( \int x(3 - x) dx \)

Решение:

1. Раскроем скобки в подынтегральной функции: \( x(3 - x) = 3x - x^2 \)
2. Интеграл примет вид: \( \int (3x - x^2) dx \)
3. Разделим интеграл на сумму интегралов: \( \int 3x dx - \int x^2 dx \)
4. Вынесем константу из первого интеграла: \( 3 \int x dx - \int x^2 dx \)
5. Применим правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):
6. \( 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \)
7. \( 3 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \)
8. \( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C \)

Ответ: \( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C \)