5. Решите систему уравнений: 2(2x + y) = 3(27+4x) - 7y 15x + 13y = 9(7 + x) + 6y

Задание 5. Система уравнений

Дано:

• Уравнение 1: \( 2(2x + y) = 3(27+4x) - 7y \)
• Уравнение 2: \( 15x + 13y = 9(7 + x) + 6y \)

Найти: значения \( x \) и \( y \), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Решение:

Сначала упростим каждое уравнение.

Упрощаем Уравнение 1:

\[ 2(2x + y) = 3(27+4x) - 7y \]

\[ 4x + 2y = 81 + 12x - 7y \]

Перенесём все члены с \( x \) и \( y \) в левую часть, а константы — в правую:

\[ 4x - 12x + 2y + 7y = 81 \]

\[ -8x + 9y = 81 \]

Упрощаем Уравнение 2:

\[ 15x + 13y = 9(7 + x) + 6y \]

\[ 15x + 13y = 63 + 9x + 6y \]

Перенесём все члены с \( x \) и \( y \) в левую часть, а константы — в правую:

\[ 15x - 9x + 13y - 6y = 63 \]

\[ 6x + 7y = 63 \]

Теперь у нас есть новая, упрощённая система уравнений:

1. \[ -8x + 9y = 81 \]
2. \[ 6x + 7y = 63 \]

Решим эту систему методом сложения. Чтобы коэффициенты при \( x \) были противоположными, умножим первое уравнение на 3, а второе — на 4:

1) \( (-8x + 9y = 81) \times 3 \rightarrow -24x + 27y = 243 \)

2) \( (6x + 7y = 63) \times 4 \rightarrow 24x + 28y = 252 \)

Сложим преобразованные уравнения:

\[ (-24x + 27y) + (24x + 28y) = 243 + 252 \]

\[ 55y = 495 \]

Разделим обе части на 55:

\[ y = \frac{495}{55} \]

\[ y = 9 \]

Теперь подставим \( y = 9 \) во второе упрощённое уравнение (или в любое другое):

\[ 6x + 7(9) = 63 \]

\[ 6x + 63 = 63 \]

Вычтем 63 из обеих частей:

\[ 6x = 0 \]

Разделим обе части на 6:

\[ x = 0 \]

Проверка:

Подставим \( x = 0 \) и \( y = 9 \) в исходные уравнения:

1) \( 2(2(0) + 9) = 2(9) = 18 \) и \( 3(27+4(0)) - 7(9) = 3(27) - 63 = 81 - 63 = 18 \). (Верно)

2) \( 15(0) + 13(9) = 0 + 117 = 117 \) и \( 9(7 + 0) + 6(9) = 9(7) + 54 = 63 + 54 = 117 \). (Верно)

Ответ: \( x = 0, y = 9 \).