5. Решите систему уравнений: (4x+y=3 (6x-2y=1

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 4x+y=3 \\ 6x-2y=1 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( 2(4x+y) = 2 · 3 \)

\( 8x + 2y = 6 \)

Теперь у нас есть новая система:

\( \begin{cases} 8x+2y=6 \\ 6x-2y=1 \end{cases} \)

Сложим два уравнения почленно:

\( (8x+2y) + (6x-2y) = 6 + 1 \)

\( 8x + 2y + 6x - 2y = 7 \)

\( 14x = 7 \)

Разделим обе части на 14:

\( x = \frac{7}{14} \)

\( x = \frac{1}{2} \)

Теперь подставим \( x = \frac{1}{2} \) в первое уравнение исходной системы, чтобы найти \( y \):

\( 4 \cdot \frac{1}{2} + y = 3 \)

\( 2 + y = 3 \)

Вычтем 2 из обеих частей:

\( y = 3 - 2 \)

\( y = 1 \)

Проверим, подставив \( x = \frac{1}{2} \) и \( y = 1 \) во второе уравнение исходной системы:

\( 6 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1 \)

Равенство выполняется.

Ответ: x = \(\frac{1}{2}\), y = 1.