5. Решите систему уравнений: \( \begin{cases} 8(4x-3)-9(2y-3)=13 \\ 0,7x+0,3y=2,3 \end{cases} \)

Задание 5: Решение системы уравнений

Система уравнений:

\[ \begin{cases} 8(4x-3)-9(2y-3)=13 \\ 0,7x+0,3y=2,3 \end{cases} \]

Шаг 1: Упростим первое уравнение.

Раскроем скобки:

\[ 32x - 24 - 18y + 27 = 13 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ 32x - 18y + 3 = 13 \]

Вычтем 3 из обеих частей:

\[ 32x - 18y = 10 \]

Можно разделить на 2 для упрощения:

\[ 16x - 9y = 5 \]

Теперь система выглядит так:

\[ \begin{cases} 16x - 9y = 5 \\ 0,7x + 0,3y = 2,3 \end{cases} \]

Шаг 2: Умножим второе уравнение, чтобы избавиться от десятичных дробей.

Умножим второе уравнение на 10:

\[ 7x + 3y = 23 \]

Система теперь:

\[ \begin{cases} 16x - 9y = 5 \\ 7x + 3y = 23 \end{cases} \]

Шаг 3: Решим систему методом сложения.

Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными (\(-9y\) и \( +9y \)):

\[ 3 \cdot (7x + 3y) = 3 \cdot 23 \]

\[ 21x + 9y = 69 \]

Теперь сложим первое уравнение \( 16x - 9y = 5 \) с полученным новым вторым уравнением \( 21x + 9y = 69 \):

\[ (16x - 9y) + (21x + 9y) = 5 + 69 \]

\[ 16x + 21x - 9y + 9y = 74 \]

\[ 37x = 74 \]

Разделим на 37:

\[ x = \frac{74}{37} \]

\[ x = 2 \]

Шаг 4: Найдем \( y \).

Подставим \( x = 2 \) в одно из упрощенных уравнений, например, в \( 7x + 3y = 23 \):

\[ 7(2) + 3y = 23 \]

\[ 14 + 3y = 23 \]

Вычтем 14 из обеих частей:

\[ 3y = 23 - 14 \]

\[ 3y = 9 \]

Разделим на 3:

\[ y = 3 \]

Проверка:

Подставим \( x = 2 \) и \( y = 3 \) в исходные уравнения:

Первое уравнение: \( 8(4(2)-3)-9(2(3)-3) = 8(8-3)-9(6-3) = 8(5)-9(3) = 40 - 27 = 13 \). Верно.

Второе уравнение: \( 0,7(2) + 0,3(3) = 1,4 + 0,9 = 2,3 \). Верно.

Ответ: x = 2, y = 3.