5. Решите: уравнение 3x² − 18x + 16 = 0; неравенства: а) 2x² − 7x − 9 < 0; б) x² > 49.

Уравнение. Вычислим дискриминант: \(D=(-18)^2-4\cdot3\cdot16=324-192=132=4\cdot33\).

По формуле корней квадратного уравнения:

\(x=\frac{18\pm\sqrt{132}}{6}=\frac{18\pm2\sqrt{33}}{6}=3\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\).

а) Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(2x^2-7x-9=(2x-9)(x+1)\). Корни: \(x=-1\) и \(x=\frac92\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, выражение меньше нуля между корнями.

б) \(x^2>49\) равносильно \(|x|>7\), поэтому \(x<-7\) или \(x>7\).

Ответ: уравнение — \(x=3\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\); а) \(-1<x<\frac92\); б) \(x<-7\) или \(x>7\).