5. Решите уравнение: \( (x - 2)^2 - 5(x - 2) - 24 = 0 \).

Решение:

Введём замену переменной. Пусть \( t = x - 2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( t^2 - 5t - 24 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант:

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \)

Найдём корни для \( t \):

\( t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь вернёмся к замене \( x - 2 = t \):

• Для \( t_1 = 8 \): \( x - 2 = 8 \Rightarrow x = 8 + 2 = 10 \).
• Для \( t_2 = -3 \): \( x - 2 = -3 \Rightarrow x = -3 + 2 = -1 \).

Ответ: \( x = 10, x = -1 \)