5. Решите уравнение: $$ x + 2\frac{1}{3} + 3\frac{1}{9} - 1\frac{1}{12} = 5\frac{7}{12} $$

Решение:

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

\( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \times 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

\( 3\frac{1}{9} = \frac{3 \times 9 + 1}{9} = \frac{28}{9} \)

\( 1\frac{1}{12} = \frac{1 \times 12 + 1}{12} = \frac{13}{12} \)

\( 5\frac{7}{12} = \frac{5 \times 12 + 7}{12} = \frac{67}{12} \)

Уравнение примет вид:

$$ x + \frac{7}{3} + \frac{28}{9} - \frac{13}{12} = \frac{67}{12} \)

Приведём дроби \( \frac{7}{3} \) и \( \frac{28}{9} \) к общему знаменателю 9:

\( \frac{7}{3} = \frac{7 \times 3}{3 \times 3} = \frac{21}{9} \)

Уравнение станет:

$$ x + \(\frac{21}{9}\) + \(\frac{28}{9}\) - \(\frac{13}{12}\) = \(\frac{67}{12}\) \)

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$$ x + \frac{21 + 28}{9} - \frac{13}{12} = \frac{67}{12} \)

$$ x + \(\frac{49}{9}\) - \(\frac{13}{12}\) = \(\frac{67}{12}\) \)

Приведём дроби \( \frac{49}{9} \) и \( \frac{13}{12} \) к общему знаменателю 36:

\( \frac{49}{9} = \frac{49 \times 4}{9 \times 4} = \frac{196}{36} \)

\( \frac{13}{12} = \frac{13 \times 3}{12 \times 3} = \frac{39}{36} \)

Теперь перенесём известные слагаемые в правую часть уравнения:

$$ x = \frac{67}{12} - \frac{49}{9} + \frac{13}{12} \)

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$$ x = \(\left\)\(\frac{67}{12} + \frac{13}{12} \right\) - \(\frac{49}{9}\) \)

$$ x = \frac{67 + 13}{12} - \frac{49}{9} \)

$$ x = \(\frac{80}{12}\) - \(\frac{49}{9}\) \)

Сократим дробь \( \frac{80}{12} \):

\( \frac{80}{12} = \frac{80 \div 4}{12 \div 4} = \frac{20}{3} \)

Теперь уравнение:

$$ x = \frac{20}{3} - \frac{49}{9} \)

Приведём дроби к общему знаменателю 9:

\( \frac{20}{3} = \frac{20 \times 3}{3 \times 3} = \frac{60}{9} \)

$$ x = \(\frac{60}{9}\) - \(\frac{49}{9}\) \)

$$ x = \frac{60 - 49}{9} \)

$$ x = \(\frac{11}{9}\) \)

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

\( \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \)

Ответ: \( x = 1\frac{2}{9} \).