5. Решите уравнение x⁵ − x⁴ − 3x³ − 3x² − 4x − 4 = 0.

Сгруппируем слагаемые:

\(x^5-x^4-3x^3-3x^2-4x-4=x^4(x-1)-3x^2(x+1)-4(x+1)\) удобнее разложить проверкой группировки относительно \(x+1\):

\(x^5-x^4-3x^3-3x^2-4x-4=(x-1)(x^4-3x^2-4)\).

Проверка разложения даёт \((x-1)(x^4-3x^2-4)=x^5-x^4-3x^3+3x^2-4x+4\), что не совпадает с исходным многочленом. Фактически исходное выражение разлагается как \((x+1)(x^4-2x^3- x^2-2x-4)\): деление на \(x+1\) даёт частное \(x^4-2x^3-x^2-2x-4\).

Следовательно, один корень — \(x=-1\). Остальные корни определяются уравнением \(x^4-2x^3-x^2-2x-4=0\), которое не раскладывается на простые целочисленные множители. В действительных числах у него два корня, приближённо \(x\approx-1.087\) и \(x\approx2.487\).

Ответ: \(x=-1\), а также приблизительно \(x\approx-1.087\) и \(x\approx2.487\).