5. Решите уравнения: 1.1 sin²x - 4 sin x + 3 = 0. 1.2sin²x- 4sinxcosx + 3cos²x = 0

Решение:

1.1. Уравнение \( \sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0 \):

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 4y + 3 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).

Корни: \( y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4+2}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4-2}{2} = 1 \).

Теперь вернемся к \( \sin x \):

• \( \sin x = 3 \) — это уравнение не имеет решений, так как \( \sin x \) может принимать значения только в диапазоне \( [-1, 1] \).
• \( \sin x = 1 \) — это частный случай. Решением является \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ для 1.1: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

1.2. Уравнение \( \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0 \):

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2 x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \). Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)

\( \mathrm{tg}^2 x - 4 \mathrm{tg} x + 3 = 0 \)

Пусть \( z = \mathrm{tg} x \). Тогда уравнение примет вид:

\( z^2 - 4z + 3 = 0 \)

Мы уже решали это уравнение для \( y \) в пункте 1.1. Корни: \( z_1 = 3 \) и \( z_2 = 1 \).

Теперь вернемся к \( \mathrm{tg} x \):

• \( \mathrm{tg} x = 3 \) — решение имеет вид \( x = \mathrm{arctg} 3 + \pi n \), где \( n \) — целое число.
• \( \mathrm{tg} x = 1 \) — решение имеет вид \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ для 1.2: \( x = \mathrm{arctg} 3 + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).