5. Решите задачу: В группе 20 студентов. Сколькими способами можно выбрать 3 человек для участия в конференции?

5. Задача на выбор:

У нас есть 20 студентов, и нам нужно выбрать 3 из них для участия в конференции. Порядок выбора не имеет значения, поэтому это задача на сочетания.

Количество сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) вычисляется по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В данном случае \( n = 20 \) (общее число студентов) и \( k = 3 \) (число выбираемых студентов).

\( C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} \)

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17!}{3 \times 2 \times 1 \times 17!} \)

Сокращаем \( 17! \):

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} \)

\( C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{6} \)

\( C_{20}^3 = 20 \times 19 \times 3 \) (так как \( 18 / 6 = 3 \))

\( C_{20}^3 = 380 \times 3 \)

\( C_{20}^3 = 1140 \)

Ответ: 1140 способов.