Исходное словосочетание «доказывать с упрямством» имеет тип связи управление. Здесь главное слово — «доказывать» (глагол), зависимое — «упрямством» (существительное в творительном падеже). Чтобы заменить его на словосочетание со связью примыкание, нужно заменить существительное на наречие, которое будет зависеть от глагола.
Слово «упрямство» (существительное) соответствует наречию «упрямо». Примыкание — это тип связи, при котором зависимое слово (обычно наречие, деепричастие, существительное в косвенном падеже без предлога или неизменяемое слово) присоединяется к главному по смыслу и интонационно, не требуя падежного управления.
Таким образом, «доказывать с упрямством» (управление) становится «доказывать упрямо» (примыкание).
Ответ: доказывать упрямо