5. Сократите дробь a^2 - a^2b^-2 / a^2b^-1 - a и вычислите ее значение при a = 0,25 и b = 1/3.

Решение:

1. Сокращение дроби:

   Числитель:
   ³
   a² - a²b^-2 = a²(1 - b^-2) = a²(1 - 1/b²) = a²(b² - 1) / b²

   Знаменатель:
   a²b^-1 - a = a/b - a = a(1/b - 1) = a(1 - b) / b

   Дробь:
   ^{a2(b2 - 1) / b2}
   ___________________
   ^{a(1 - b) / b}

   =
   ^{a2(b - 1)(b + 1) / b2}
   ___________________
   ^{-a(b - 1) / b}
   =
   ^{a2(b - 1)(b + 1)}
   ___________________
   ^b2
   *
   ^b
   ___________________
   ^{-a(b - 1)}
   =
   ^{a(b + 1)}
   ___________________
   ^-b
   =
   ^{a(b + 1)}
   ___________________
   ^-b
   =
   ^{a(b + 1)}
   ___________________
   ^-b
   =
   ^{a(b + 1)}
   ___________________
   ^-b
   =
   a²(b²-1)/b²
   ____________
   a(1-b)/b
   =
   ^a2(b-1)(b+1)
   ___________________
   ^b2
   *
   ^b
   ___________________
   ^-a(b-1)
   =
   ^a(b+1)
   ___________________
   ^-b
   =
   ^a(b+1)
   ___________________
   ^-b
   =
   a²(b²-1)/b²
   ------------
   a(1-b)/b
   =
   ^{a
   -b}
   (b+1)
   =
   ^{a
   -b}
   (b+1)
   =
   ^{a
   -b}
   (b+1)
   =
   ^{a
   -b}
   (b+1)
   =
   ^{a
   -b}
   (b+1)
   =
   a²b^-2-a²
   -------------
   a b^-1-a
   =
   a²(b^-2-1)
   -------------
   a(b^-1-1)
   =
   a(b^-2-1)
   -------------
   b^-1-1
   =
   a(1/b²-1)
   -------------
   1/b-1
   =
   a((1-b²)/b²)
   -------------
   (1-b)/b
   =
   a(1-b)(1+b)/b²
   ------------------
   (1-b)/b
   =
   a(1-b)(1+b) b
   -------------- * ------
   b² (1-b)
   =
   a(1+b)
   -----
   b

2. Вычисление значения:

   Подставим a = 0,25 = 1/4 и b = 1/3 в полученное выражение:

   a(1+b) / b = (1/4) * (1 + 1/3) / (1/3)

   = (1/4) * (4/3) / (1/3)

   = (1/3) / (1/3) = 1

Ответ: 1