Ответ:

  1. У Антона часто подходила к телефону бабка, всегда следившая за внуком, учившимся в нашей школе. Обособлены распространённые согласованные определения, стоящие после определяемого слова; учившимся в нашей школе относится к слову внуком.
  2. Сильно испуганный Травкин пошёл за ним и увидел на просёлочной дороге медленно двигающуюся машину. Определения стоят перед определяемыми словами и тесно связаны с ними, поэтому не обособляются.
  3. Ворча, медведь изо всех сил тряс дерево. Вот он, утомившись, сел по-человечески на землю и стал смотреть на дерево, что-то соображая. Одиночные и распространённые деепричастные обороты обособляются.
  4. Построив дом, папа начал строить сарай, предназначенный для хранения лопат. Деепричастный оборот обособляется; причастный оборот стоит после определяемого слова и обособляется.
  5. Мальчик, раскрошив печенье, разбросал крошки рядом с голубями, живущими на чердаке нашего дома. Деепричастный оборот обособляется с двух сторон; причастный оборот стоит после определяемого слова.