5. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 7 см, площадь треугольника 6 см². Найдите гипотенузу.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• \[ a + b = 7 \text{ см} \]
• \[ S = 6 \text{ см}^2 \]

Найти:

• \[ c \]

Решение:

1. Формула площади прямоугольного треугольника:\[ S = \frac{1}{2} ab \]
2. Подставим данные:\[ 6 = \frac{1}{2} ab \]
3. Отсюда найдем произведение катетов:\[ ab = 12 \]
4. Мы имеем систему уравнений:\[ \begin{cases} a + b = 7 \\ ab = 12 \end{cases} \]
5. Решим эту систему. Можно заметить, что числа 3 и 4 удовлетворяют обоим уравнениям:\[ 3 + 4 = 7 \\ 3 · 4 = 12 \]
6. Таким образом, катеты равны 3 см и 4 см.
7. Теперь найдем гипотенузу по теореме Пифагора:\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
8. \[ c^2 = 3^2 + 4^2 \]
9. \[ c^2 = 9 + 16 \]
10. \[ c^2 = 25 \]
11. \[ c = √{25} \]
12. \[ c = 5 \text{ см} \]

Ответ: Гипотенуза равна 5 см.