6. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что точки А; A1; B; B1 лежат на одной окружности с диаметром АВ.

Доказательство:

Рассмотрим точки A, B, A1, B1. Нам нужно доказать, что эти точки лежат на одной окружности с диаметром AB.

1. Углы, опирающиеся на диаметр:

• Рассмотрим угол ∠ AA1B. Так как AA1 — высота, то AA1 ⊥ BC. Следовательно, ∠ AA1B = 90°.
• Рассмотрим угол ∠ BB1A. Так как BB1 — высота, то BB1 ⊥ AC. Следовательно, ∠ BB1A = 90°.

2. Свойство окружности:

Угол, который опирается на диаметр окружности, является прямым (равен 90°). Обратно, если угол, опирающийся на отрезок, является прямым, то этот отрезок является диаметром окружности, проходящей через вершины этого угла.

3. Применение к задаче:

• Так как ∠ AA1B = 90°, то точки A, A1, B лежат на окружности, диаметром которой является отрезок AB.
• Так как ∠ BB1A = 90°, то точки A, B1, B лежат на окружности, диаметром которой является отрезок AB.

4. Вывод:

Поскольку точки A, A1, B принадлежат окружности с диаметром AB, и точки A, B1, B также принадлежат этой же окружности, то все четыре точки A, A1, B, B1 лежат на одной окружности с диаметром AB.